上篇文章我们从递归的哲学释义出发，提出递归的唯一目的是研究自组性。而自组性的启始程序A0 开始无论分型还是其他均不是必然，只要满足4个假设条件即可。本文我们尝试从纯数学的角度，对递归生长展开定性分析。分形数学当中的L-生长系统、递归迭代函数系是人类当前研究自相似性的最好的数学工具，这样的分析是为了我们能够对递归生长有更深入的理解。
递归的原始定义分析：本质是经过一个初始化之后的自相似迭代生长
再引用递归的原文定义：本ID关于中枢等的定义，其实一直没有改变过，因为中枢定义的关键，在于定义的递归性。一般的递归定义，由两部分组成，一、f1(a0)=a1；二、f2(an)=an+1；关于第二条的中枢过程规则，是一直没有任何改变的，而关于第一条，其实，可以随意设置任何的，都不会改变中枢定义的递归性。而且，任何有点数学常识的都知道，f1(a0)=a1之前是不需要再有什么递归性的，也就是，一和二之间的f1、f2可以是完全不同的两个函数。重点来了，关于第一条，其实，可以随意设置的。
当我们从一个动态执行的时间过程当中再回过头来看这个递归的过程，我们可以看到一些有意思的东西：
- 初始化过程和迭代过程的独立性。第一次执行f1，完全是一个独立的流程，用a0和f1两个要素进行了某种“初始化”，得到了a1。而值得注意的是，这a0和f1完全可以和f2没有任何的关系，即初始化和后续的递归迭代过程可以完全独立。
- 迭代过程里面本身蕴含的自相似性。当a1已经得出来了，我们继续去往下执行这个过程，那么后续所有的a2，a3，a4…都在同一个规则之下得出来，但是得出他们的过程当中，迭代的次数不一样。而这迭代的次数，就构成了级别，这相同的规则，恰恰就是自相似性的表达。都是基于同样的规则执行了不同的次数而已，怎么能不相似呢？
- 迭代过程里面本身蕴含的自生长性。更进一步的，当我们把那些离散的角标1,2,3…当做是离散的时间点，这个迭代的过程便开始在时间当中流淌。以此方式，而有生成过程相似，生成顺序相续，最后依据自身性质不同而演化成了各种各样的状态。相似相续，轨生物解，自性任持，故有生长意。
一个简简单单的递归执行过程，我们仔细展开来看，便有了独立性、自相似性和自生长性三性。越是简单的东西，越是容易被人忽略，但被忽略的那些确往往是问题的本质属性。关于独立性的部分，我们后文构造具体的递归系统时再细细展开。而这一个简单递归式里面关于自相似性和自生长性的部分，我们将在下文中讨论。
递归的数学解释：解决递归函数生长的分形数学
对于自相似的研究，人类已经进行了数十年的时间。当前的最新研究成果当中，对于自相似性最好的研究工具即是分形数学。何为分形？最简单原始的含义其实就是指的是整体和部分有着某种相似的形。而这种整体和部分相似的特征在自然界和金融市场的走势当中是十分常见的。
自然界中的自相似性分形：菜花和树枝
金融市场的自相似性分形：下图是不同标的日线图、五分钟图和周线图的拼接，这相似性大到第一眼都看不出来是拼的图而不是连贯的走势。
既然已经知道分形在自然界和金融市场的普遍存在性，可是我们又知道一颗菜花不是凭空存在，一棵树不是瞬间长成的，任何一个标的的走势图是需要时间的积累的。那么一个具有自相似性的结构、图形或者实体的产生过程是什么样的呢？它是如何形成的呢？解决这个问题，人类所使用的办法恰恰是L-系统和IFS迭代函数系，用通俗的话来讲，就是递归函数生长而得出来的。下面我们来看几个简单而具体的例子。(资料来源：《股票市场的分形特征》，陈良生，王春红，张春旭)。虽然这里不是严格的递归而是用的内插法，但是一眼看去是不是已经有笔段的影子？
由上面的简单案例我们可以大致知道，初始化加递归迭代是生成自相似分形结构的一般化方法。下面我们直接给出数学中分形图像生成的的一般性方法，具体理论细节过于复杂，在此不表，感兴趣的读者请自己阅读参考文献。（下面的文字大量引用自学术专著：《分形理论及其应用》和《混沌与分形——科学的新疆界》）
解决递归函数生长的方法一：L-系统方法
从下而上的自相似图形构造方法：L-系统方法，这个思维的角度更贴近于笔段递归的思维方式
L-系统（L-system）中的字母L，指的是美国生物学家阿利斯蒂德·林德迈伊（Aristid Lindenmayer，1925—1989， 见图3-1）。他于1968年提出了研究植物形态与生长的描述方法。它可以描述树种、植物和植物叶片等自然景观及其生长过程，这引起了生物学界和计算机界人士的极大兴趣。
L-系统的工作原理非常简单，仅仅是对几个简单的字符进行操作，“字符串替换”是其核心思想。因此，L-系统实际上是字符串重写系统，它通过产生一系列字符串来生成各种分形图像。我们把字符串解释成曲线或者更准确地称做图形，于是只要能生成字符串，也就等于生成了图形。L-系统是极其有意义的，首先，利用L-系统能够生成许多经典的分形；其次它还可以用来模拟植物形态，特别是能够很好地表达植物的分枝结构。
我们将用Koch曲线作为第一个例子。由L一系统描述的Koch曲线相当简单。在经典构造里，我们重复地用一个四条线段组成的序列替换一条线段，如下图所示。这一序列可以用字符串表示为F+F–F+F（这里我们选择角度δ=60°），这是一条线段前进（F），左转60°（+），另一条线段前进（F），然后右转两次，每次60（一一）（即，共转120°,一条线段前进（F）,向左转（十），另一条线段前进（F）。用纯数学语言表达如下：
L – 系统： Koch曲线
初始元： F
生长规则： F → F + F – – F + F
+ → +
– → –
参数： δ = 60°
用这种方式，多次迭代，并且在每一次迭代的过程中加入一定的缩放规则，就可以得到复杂的分形图形。
如果我们沿用类似的思维方式，把这个F换成不同的走势类型，加和减换成上涨和下跌，每一次衔接时发生一定的伸缩变化，那么会得到什么样的图形呢？如果把这个F换成笔段，加减换成涨跌，每一次衔接发生一定的伸缩变化，那么又会得到什么样的图形呢？这些问题，是开放的，各位看官可以和我们一起思考。
当我们仔细观察L-系统生成分形图形的案例，就会发现，这种生长的过程与走势类型的转换与连接极其相似，至于缠师在原文里的相关描述，我们在后面再来回顾。
解决递归函数生长的方法二：IFS迭代函数系
从上而下的自相似图形构造方法：IFS迭代函数系，这个思维的角度更贴近于区间套
IFS的基本思想基于分形具有局部与整体自相似的特性，也就是说部分是整体的一个个小复制品，只是在大小、位置和方向上有所不同而已。数学中的仿射变换是一种线性变换，它正好具有把图形放大、缩小、旋转和平移的性质。因此，产生一个复制品就相当于对图形作一次仿射变换，从原则上说，任何图形都可以用一组仿射变换来描述或生成。
下面是几个具体的例子：
经过若干次类似操作下的迭代，一个较粗糙的图形开始充满无数细节，而且我们可以通过编码的方式定位到任何小的一个点上。这种向内压缩的递归迭代，是不是很像区间套的思维方式？这是另一个开放性的问题，各位看官可以与我们一起思考。
通过如上文字，我们明确了自相似性的普遍存在性，以及L-系统和IFS迭代函数系作为研究自相似最主流的数学工具的基本数学事实，为我们后续的研究提供了更直接的理论视角。
至此，我们从逻辑推导的角度看解决了假设的头两个部分，即分形不是数学理论来证明人的自同构性结构，而是作为一种数学工具而且是最好的数学工具。分形的目的无论是L-系统还是IFS迭代函数系只是保证人的自同构性结构分解的唯一性。
余下还有两个假设即：来源于市场本身，和如何定义启始程序A0。这就转化成了下一篇文章的主题即一个很基本的数学问题：如何找到适合实际金融时间序列分形的实用的递归函数系统？
阅读材料：
分形理论有大量的前人研究，在此不细展开了，有兴趣的读者请查阅参考文献：
Laws Of Fractals by Dirk Vandycke_201511
混沌与分形——科学的新疆界 海因茨奥·托佩特根 哈特穆特·于尔根斯 迪特马尔·绍柏
股票市场的分形特征 2005 陈良生 王春红 张春旭
物理学中的分形 刘式达 刘式适
分形理论及其应用 朱华 姬翠翠
资本市场的混沌与秩序 埃德加·E·彼得斯
分形市场分析：将混沌理论应用到投资与经济理论上 埃德加·E·彼得斯