一、递归的定义
1、数学中的递归
在数学与计算机科学中，递归是指在函数的定义中使用函数自身的方法。例如：一个简单的数学例子就是斐波那契数列。斐波那契数列从0 和 1 开始，每个数都是前两个数之和：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ……,生活中一个常见的例子就是打开套娃：从大的娃娃里，取出较小的娃娃，直到拿到最小的娃娃。这个过程就是递归：重复相同的操作（打开娃娃），每一步都在处理一个同类问题，直到无法继续为止。
2、缠论中的递归
缠师第一次提出递归，是在17课为了解决构建中枢的次级别不能无限分解下去。
缠中说禅走势中枢就是至少三个连续次级别走势类型重叠部分所构成。这里有一个递归的问题，就是这次级别不能无限下去，就像有些半吊子哲学胡诌什么“一分为二”，而“分”不是无限的，按照量子力学，物质之分是有极限的，同样，级别之次也不可能无限，在实际之中，对最后不能分解的级别，其缠中说禅走势中枢就不能用“至少三个连续次级别走势类型所重叠”定义，而定义为至少三个该级别单位K线重叠部分。
——教你炒股票17：走势终完美(2006-12-18 11:52:42)
鉴于中枢（至少三个连续次级别走势类型重叠）和走势类型（根据中枢的数量来定义）在定义上相互包含，导致了循环定义的问题。为解决这一问题，需要引入级别的概念。
前面课程，最基础的无非两方面，一、中枢；二、走势类型及其连接。这两方面相互依存，如果没有走势类型，中枢也无法定义；而没有中枢，走势也无法分出类型。
如果理论就此打住，那么一个循环定义就不可避免。要解决该循环，级别的概念是不可缺少的。有了级别，一个严格的递归式定义才可以展开。
——教你炒股票35：给基础差的同学补补课(2007-03-09 11:51:34)
就像套娃一样，必定存在一个最小的娃娃作为a0。在市场交易中，若以最严格的标准来定义，连续三笔价位相同的交易即构成了最小级别的中枢。
所谓的最低级别，就如量子力学的量子概念，物理世界不是想当然地无限连续的，而市场的交易同样如此。最严格去定义，每笔的交易是最低级别的，连续三笔相同价位的交易，就构成最低级别的中枢。
——教你炒股票35：给基础差的同学补补课(2007-03-09 11:51:34)
根据这一最小级别中枢的数量，我们可以进一步界定最小级别的走势类型：盘整（包含1个中枢）或者趋势（包含2个或2个以上中枢，依据中枢的位置，可以进一步划分为上涨趋势或下跌趋势）。
有一个最低级别中枢的走势，就是最低级别的盘整走势类型；有两个最低级别中枢的走势，就是最低级别的趋势走势类型，如果第二个中枢比第一个高，那就是上涨走势类型，反之就是下跌走势类型。
——教你炒股票35：给基础差的同学补补课(2007-03-09 11:51:34)
当三个最小级别走势类型之间发生重叠的时候，就形成了更高级别的中枢。通过这样逐级向上的递归方式，我们就有效的解决了循环定义的问题。
上面就用最低级别的中枢把走势在最低级别上进行了完全分类，而三个连续的最低级别走势类型之间，如果发生重叠关系，也就是三个最低级别走势类型所分别经过的价格区间有交集，那么就形成了高一级别的缠中说禅中枢。
有了该中枢定义，依照在最低级别上的分类方法，同样在高级别上可以把走势进行完全的分类，而这个过程可以逐级上推，然后就可以严格定义各级别的中枢与走势类型而不涉及任何循环定义的问题。
——教你炒股票35：给基础差的同学补补课(2007-03-09 11:51:34)
在《教你炒股票84：本ID理论一些必须注意的问题》中，缠师对递归进行了量化，提出了两个公式f1和f2，并特别强调，f1可以随意设置，也就是说递归可以有多种形式。
本ID关于中枢等的定义，其实一直没有改变过，因为中枢定义的关键，在于定义的递归性。一般的递归定义，由两部分组成，一、f1(a0)=a1；二、f2(an)=an+1；关于第二条的中枢过程规则，是一直没有任何改变的，而关于第一条，其实，可以随意设置任何的，都不会改变中枢定义的递归性。而且，任何有点数学常识的都知道，f1(a0)=a1之前是不需要再有什么递归性的，也就是，一和二之间的f1、f2可以是完全不同的两个函数。
——教你炒股票84：本ID理论一些必须注意的问题(2007-10-07 16:09:06)
在这两个公式中，f代表递归方式，a代表中枢或走势类型，0或n代表该中枢或走势类型的级别。递归的意义就在于走势的级别是通过递归不断扩大的。
作为最小级别中枢的构成元件的a0可以有多种定义方式，例如可以用分型笔线段（懒人线路图）、K线重叠【46课】，或均线（缠论研学院2023年研究项目之一：幂级递归）等。在接下来的章节中，我们会简单介绍这三种不同a0为起点的递归。
分型等于递归函数的a0，这完全可以随意设计，如何设计都不会影响到唯一分解定理的证明。
——教你炒股票101：答疑1 (2008-03-04 16:14:02)
最基础的无非两方面，一、中枢；二、走势类型及其连接。这两方面相互依存，如果没有走势类型，中枢也无法定义；而没有中枢，走势也无法分出类型。如果理论就此打住，那么一个循环定义就不可避免。要解决该循环，级别的概念是不可缺少的。有了级别，一个严格的递归式定义才可以展开。
——教你炒股票35：给基础差的同学补补课(2007-03-09 11:51:34)
因此，级别在本ID理论中就极端关键了。为什么？因为本ID的递归函数是有级别的，是级别依次升大的。
——教你炒股票102：再说走势必完美(2008-03-06 16:10:18)
二、股票走势的递归的方法
股票走势的递归，除了大家所熟知的“懒人线路图”中提到的“笔段递归”外，缠师在原文中其实还描述了其他的递归方法，例如在《教你炒股票46：每日走势的分类》中提到的以K线重叠作为递归，更重要的是，缠师在《教你炒股票102：再说走势必完美》中提到递归是建立在“完全分类”的基础之上的，因此任何可以完全分类的都可以作为递归的起点，缠论研习院的“幂级递归系统”就是一个经典的应用。这也是缠论研习院一直强调“缠论＞108课>递归>笔段递归”的由来。
如果是单纯地唯一分解，并不能显示本ID理论真正厉害之处，因为走势必完美对应的是一种最特殊、最强有力的唯一分解，这看似毫无规律的市场走势竟然有这样完美的整体结构，这才是最牛的地方。
最完美的系统，肯定是自然数了，为什么？因为自然数具有诸多的唯一分解方式，例如素数的分解，但还有一种最牛的分解，就是对于幂级数的唯一分解，因为有这种分解，所以自然数有记数法。例如，2的幂级数对应的唯一分解就是2进位，而10的就是10进位。如果没有这种分解，我们就不能用记数法记录自然数了。
正因为这分解如此有力，所以我们都会觉得很平常，似乎自然数有记数法是天经地义的，其实，这才是自然数整体结构中最牛的地方。而一般的数系，一般是没有这种性质的。
同样，本ID的理论给出的递归函数，完美地给出市场走势一个类似记数法一样的唯一分解，也就是说，本ID揭示了看似毫无规律的市场走势竟然有着和自然数有着类似的整体结构，完全超越一般的想象，这才是真正最牛的地方。
正因为本ID的理论揭示了看似毫无规律的市场走势有如此完美的整体规律，所以才有了其后一系列的操作可能。这才是走势必完美真正关键的地方。
因此，级别在本ID理论中就极端关键了。为什么？因为本ID的递归函数是有级别的，是级别依次升大的。所以，搞不明白级别，根本就不明白本ID的理论。
那么，这样一个整体结构有什么厉害的结论呢？这可以推演的东西太多了，随便说一个，就是区间套方法的应用。如果市场走势没有本ID所揭示的整体结构，那么区间套是不会存在，也就是没有操作意义的。因此，区间套的方法，就是走势必完美的一个重要的应用。有了区间套，买卖点的精确定位才有可能，也就是说走势必完美的存在导致了买卖点可以精确定位，这显然是操作中最牛的一种方式了。
从1分钟一直到年，对应着8个级别，其实，这些级别的名字是可以随意取的，只是这样比较符合习惯。否则说级别1、2的，容易搞不清楚。
当然，加上线段与笔，可以有更精细的分解，但一般来说没这必要。
任何走势，都可以在这些级别构成的分解中唯一地表达。但一般来说，对于一般的操作，没必要所有分解都搞到年、季、月这么大的级别，因为这些级别，一般几年都不变一下。你看，从6124点下来，N个月了，还在30分钟级别里混，所以，一般来说，1、5、30分钟三个级别的分解，就足以应付所有的走势。当然，对于大点的资金，可以考虑加上日级别的。
也就是说，任何走势，都可以唯一地表示为a1A1+a5A5+a30A30的形式。而级别的存在，一个必然的结论就是，任何高级别的改变都必须先从低级别开始。例如，绝对不可能出现5分钟从下跌转折为上涨，而1分钟还在下跌段中。有了这样一个最良好的结构，那么，关于走势操作的完全分类就成为可能。
完全分类，其实是一个超强的实质性质。学点现代数学就知道，绝大多数系统并不一定存在完全分类的可能，而要研究一个系统，最关键的是找到某种方式实现完全分类，说得专业点，就是具备某种等价关系。
而由于走势必完美，所以走势就是可以完全分类的，而所有的分类，都有明确的界限，这样，任何的走势都成为可控的。这种可控并不需要任何人的预测或干预，而是当下直接地显现的，你只需要根据这当下的显示，根据自己的操作原则操作就可以。
注意，完全分类是级别性的，是有明确点位界限的。而不是粗糙的上下平的无聊概念。也就是说，本ID的理论完全是数量化的，因此而就是精确化的，里面不存在任何含糊的地方。
所以，明白上面这些，这样就有了一个大概的框架，而不至于迷失于理论中了。
——教你炒股票102：再说走势必完美(2008-03-06 16:10:18)
1、笔段递归系统
在72课，缠师完整的提出了笔段递归系统（懒人线路图：分型-笔-线段-最小级别中枢-各级别中枢、走势类型）。而在这之前绝大部分重要的定理定律，包括买卖点的定义早已提出。这也说明，笔段递归不过是众多递归方法的一种，缠论的底层基础并不依赖于笔段递归。
下面，本ID给出一个懒人线路图：
分型-笔-线段-最小级别中枢-各级别中枢、走势类型。
上面几个东西，是形态学中最基本的，完全没有办法再简略了，所以无论多懒，如果真想学本ID的理论，那请先把这几样东西搞清楚。
——教你炒股票72：本ID已有课程的再梳理(2007-08-21 22:37:20)
分型（顶分型，底分型），作为走势类型的最小部件，是学习缠论递归系统的起点a0。
分型等于递归函数的a0，这完全可以随意设计，如何设计都不会影响到唯一分解定理的证明。
——教你炒股票101：答疑1 (2008-03-04 16:14:02)
顶分型，底分型，以及中间的K线，一旦符合笔的定义（包含处理后，顶底分型之间至少有一根K线），即可画出笔。笔是一个转折发生后（出现顶分型/底分型）沿着转折后的方向的走势延伸。
两个相邻的顶和底之间构成一笔，所谓笔，就是顶和底之间的其他波动，都可以忽略不算，但注意，一定是相邻的顶和底，隔了几个就不是了。… 在实际分析中，都必须要求顶和底之间都至少有一K线当成一笔的最基本要求。
——教你炒股票62：分型、笔与线段 (2007-06-30 09:49:51)
由于笔的结构不够稳定（可能会因任何瞬间交易产生影响），从而导致整体结构不稳定。为了得到一个稳定的结构，我们规定符合条件（有重叠部分）的至少三笔，可以组合成线段。
一个最简单的问题，为什么不能由笔构成最小中枢？其实，这不是一个问题。为什么？因为实质上，我们是可以设计这样的程序，也就是用笔当成构成最小中枢的零件，但这样构造出来的系统，其稳定性极差。
众所周知，一笔的基础是顶和底分型，而一些瞬间的交易，就足以影响其结构。例如，突然有人打错单，或者有人给老鼠仓送货，那么全天走势的分析就大变样了。而由线段构成最小中枢，则不存在这个问题。为什么？一个线段的改变，不会因为一个偶尔一笔的错误而改变，也就是说，线段受偶尔性的影响比较少，想想要破坏一个线段的麻烦程度，就知道这一点。
——教你炒股票83：笔-线段与线段-最小中枢结构的不同心理意义1 (2007-09-26 )
缠师在《教你炒股票17：走势终完美》中提出了“缠中说禅走势中枢”的概念，即在某级别的走势类型中，由至少三个连续次级别走势类型重叠的部分称为中枢。在《教你炒股票21：缠中说禅买卖点分析的完备性》和《教你炒股票53：三类买卖点的再分辨》中，缠师进一步指出，线段实际上就是次级别的走势类型。根据中枢的定义——三个连续次级别走势类型的重叠部分，那么三根线段重叠的部分就可以构成一个中枢，而这个中枢就是前文提到的最小级别中枢（具体见中枢章节）。
这个最小级别中枢的确立后，便可依次向上递归，组建成不同级别的走势类型。而根据中枢的数量，又可以分为盘整或趋势。
缠中说禅盘整：在任何级别的任何走势中，某完成的走势类型只包含一个缠中说禅走势中枢，就称为该级别的缠中说禅盘整。
缠中说禅趋势：在任何级别的任何走势中，某完成的走势类型至少包含两个以上依次同向的缠中说禅走势中枢，就称为该级别的缠中说禅趋势。该方向向上就称为上涨，向下就称为下跌。
——教你炒股票17：走势终完美（2006/12/18 11:52:42）
当这个走势类型完成后，它自身又可作为次级别走势类型，继续向上递归
从而推导出更大级别的中枢，这便实现了从小级别到大级别的走势生长。
缠中说禅买卖点的完备性定理：市场必然产生赢利的买卖点，只有第一、二、三类。相同的分析，可以证明缠中说禅升跌完备性定理：市场中的任何向上与下跌，都必然从三类缠中说禅买卖点中的某一类开始以及结束。换言之，市场走势完全由这样的线段构成，线段的端点是某级别三类缠中说禅买卖点中的某一类。任何一个线段，其端点必然是一买点及一卖点。
——教你炒股票21：缠中说禅买卖点分析的完备性 (2007-01-09 15:03:58)
三个5分钟级别的走势重叠构成一个30分钟中枢，站在30分钟级别的角度，5分钟的走势都可以看成就是一个线段，没有内部结构的。
——教你炒股票53：三类买卖点的再分辨(2007-05-23 08:47:18)
如上，这便完成了一个从分型、笔、线段开始的最小级别定义，以及中枢递归定义的整个过程。
在实际操作中，我们通常从1分钟级别的分型出发，逐级向上。
●在1分钟图上确认底分型/顶分型
●在1分钟周期图上划分1分钟笔（橙色）
●在1分钟笔的基础上划分1分钟线段（黄色）
●当出现符合中枢定义的三个连续重叠的1分钟线段时，就形成了1分钟中枢（蓝色）
图1 1分钟递归出来的SPX的蓝色中枢
当然，我们不需要必须从1分钟K线图开始定义最小级别中枢，根据投资者的资金量，操作风格，完全可以从更高级别的K线图出发，如日线级别，来构建分析框架。
以巴菲特级别的长期投资策略为例，投资者可能会选择从日线的K线图开始定义“笔”（红色笔），通过笔组建成线段（绿色线段），最后构建中枢（深蓝色中枢），并由此出发，得到更大级别的中枢和走势类型。对于从某时间级别开始画笔-线段-中枢的对应的颜色图可以参考下图。
图2 某时间周期开始画笔进而得到最小中枢的对应颜色图
需要注意的是，许多人常将级别与K线图上的时间周期混淆，实际上它们是两个独立的概念。在30分钟图上识别的买点，并非必然代表30分钟级别的买点，它同样可能是次级别（5分钟图）或更高级别（日线）的买入信号。进一步说，如果在30分钟图上出现一个5分钟级别的中枢，那么该走势的级别则被定义为5分钟级别，而非30分钟级别。
2、K线重叠递归
对于A股而言，一天的交易时间为4小时，即8根30分钟K线。如果将3根相邻的30分钟K线的重叠部分视作一个中枢，这三根K线便可作为a0，来构成递归系统中的最小级别中枢a1。这种方法便是将30分钟K线作为递归起点，逐步构建出更高一级的走势类型。
一天的交易是4小时，等于有8个30分钟K线组成的一个系统。把3个相邻30分钟K线的重叠部分当成一个每天走势上的一个中枢，那么，一般来说显然，任何一天的走势，无非只有三类：一、只有一个中枢；二、两个中枢。三、没有中枢，其力度依次趋强。
——教你炒股票46：每日走势的分类(2007-04-18 15:36:09)
同样，根据中枢的数量，可以构建出盘整或趋势。
如下图所示，两个中枢构成了一个上涨趋势。（注：A股的交易时间为4小时，即上午9:30 – 11:30，下午13:00 – 15:00。图中显示了10根K线，这是因为该软件将30分钟整点作为K线的起始时间。例如，第一根K线的时间为9:30-9:59，第四根K线为11:00-11:29，第五根K线为11:30-11:30，最后一根第十根K线的时间为15:00-15:00，第5/10根K线实际上是可以忽略掉的。）
图3 上证北京时间2024年9月30日30分钟K线图
分型作为a0 与 K 线重叠作为 a0 既有相同点，也有不同点。相同点在于它们都以 K 线为基础，根据不同的 K 线组合构造中枢，并逐级递归形成更大级别的走势类型。
不同点在于，分型作为a0是在小级别上观察大级别，即在 1 分钟的周期图上，通过画1分钟的笔，构造出更大级别的中枢和走势类型。而K线重叠作为 a0则是在大级别周期图（30分钟周期图）上直接画出小级别（1分钟）的中枢。
3、幂级递归
幂级递归是缠论研习院2023年研习项目之一，旨在正名“递归系统>笔段递归系统”，以纠正投资层面“递归=笔段递归”的缠应用误区而研发的一种新的递归系统。
该项目的灵感来源于缠师通过大量均线图形来演示缠论中重要的原理和定理。既然如此，我们便也可以运用均线递归的方式，来构造出一种新的分析走势的方法。
不同于普通均线选取各个K线的收盘价进行连接，幂级递归的a0定义为K线中位线的连接，而经过研究测试，f2定义为：f2(an)=an*5。
幂级递归具体研究内容，请参考公众号链接：
——教你学缠论普及读物项目组
2025年5月22日